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ARITHMÉTIQUES.
, , ces nombres n’auront pas de commun diviseur, et qu’on aura .
2o. De là et à l’aide de la dernière observation du no 235,
on peut facilement conclure que , par la substitution , ,
, ; , , , , se change en le produit de la forme
par elle-même, et par la substitution , , , ;
, , , , en le produit de la forme par elle-même. Or le plus grand commun diviseur des nombres , ,
est ; si donc est impair, , , n’auront pas de commun diviseur, et la forme sera une forme proprement primitive. De même si est impair sera une
forme proprement primitive ; dans le premier cas, naît de la
duplication de la forme , et dans le deuxième, de
la duplication de la forme . (Voyez Conclus. 4,
no 235). Or un de ces cas arrivera nécessairement. En effet, si
, étaient tous deux pairs, serait nécessairement impair ; or on
s’assure aisément que l’on a , ;
donc et , et partant et seraient tous les deux pairs ;
et le seraient donc aussi, ce qui est contre l’hypothèse,
puisque est une forme du genre principal, et parconséquent de
l’ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que et
soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent
par leur duplication.
Soit proposée, par exemple, la forme de déterminant on trouve pour valeur de l’expression ; donc la forme ternaire . Or par
les règles du no 272, on trouve la forme équivalente
à , et qui se change en elle par la substitution
,
,
;
——,
,
;
——,
,
De là, à l’aide des transformations consignées no 277, on trouve
que se change en par la substitution
,
,
;
——,
,
;
——,
,
ainsi , , . Et comme est impair, naît
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