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RECHERCHES
donnera une représentation de 
par 
, qui sera
et l’ensemble de ces représentations, que nous désignerons par 
,
renfermera nécessairement toutes les représentations de .
3o. Ainsi il ne reste plus qu’à examiner si dans il peut se
trouver des représentations identiques, et comme (no 280, 3o) les
représentations qui sont dérivées de formes différentes sont nécessairement différentes, tout se réduit à chercher si, parmi celles
qui se déduisent de la même forme, de 
, par exemple, il peut
y en avoir d’identiques. Or il est évident, au premier coup-d’œil, que si, parmi les représentations de , on trouve la
suivante :
…(r),
on y trouvera aussi
…(r'),
et que de chacune on déduit la même représentation de , que nous désignerons par (R) ; examinons donc si la représentation (R) peut encore résulter d’autres représentations de la forme . On voit par le no 280, 3o, en y faisant 
, et supposant que toutes
les transformations propres de en elle-même soient données par les formules 
, 
, que toutes les représentations de la forme , dont (R) peut résulter, seront exprimées par
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 ,
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 ,
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 ;
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mais il résulte de la théorie exposée no 179, sur les transformations des formes binaires de déterminant négatif, qu’excepté les cas où l’on a 
ou 
il n’y a jamais que deux transformations propres de la forme en elle-même : 
et 
On doit remarquer en effet que la forme étant primitive, le nombre désigné par 
au no 179 est ici ou 
et qu’ainsi le premier cas a nécessairement lieu, excepté pour les valeurs et 
du déterminant. Donc (R) ne peut provenir que des seules représentations 
et 
et parconséquent toute représentation propre du nombre est contenue deux fois dans 
