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RECHERCHES

possible. Quand toutes les conditions superflues sont ainsi rejetées, il est évident que tous les modules qui restent sont premiers entr’eux ; on est sûr alors de la possibilité du problême, et on peut procéder d’après la manière enseignée plus haut.

35. Si nous supposons comme au n^o 32 $z\equiv 17{\pmod {504}}$, $\equiv -4{\pmod {35}}$, $\equiv 33{\pmod {16}}$ ; ces conditions peuvent se décomposer en celles qui suivent : $z\equiv 17{\pmod {8}}$, $\equiv 17{\pmod {9}}$, $\equiv 17{\pmod {7}}$ ; $z\equiv {-4}{\pmod {5}}$, $\equiv -4{\pmod {7}}$ ; $z\equiv 33{\pmod {16}}$. De ces conditions on peut rejeter $z\equiv 17{\pmod {8}}$ et $z\equiv 17{\pmod {7}}$, car la première est renfermée dans la condition $z\equiv 33{\pmod {16}}$, et la seconde est équivalente à $z\equiv -4{\pmod {7}}$ : il reste ainsi

$z\equiv$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$17$	${\pmod {\;\,9}}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	d’où l’on tire $z\equiv 3041{\pmod {5040}}.$
		$-$	$4$	${\pmod {\;\,5}}$
		$-$	$4$	${\pmod {\;\,7}}$
			$33$	${\pmod {16}}$

Au reste il est clair qu’il sera souvent plus commode de ramener à une seule les conditions qui restent et qui proviennent de la même, ce qui se fera sans peine. Par exemple, quand on a rejeté quelques-unes des conditions $z\equiv a{\pmod {A'}}$, $z\equiv a{\pmod {A''}}$, etc. celle qui se composera des conditions restantes sera $z\equiv a$, suivant le module formé par le produit de tous les modules qui restent. Ainsi dans notre exemple des conditions $z\equiv -4{\pmod {5}}$, $z\equiv -4{\pmod {7}}$ ; on tire sur-le-champ la condition $z\equiv -4{\pmod {35}}$, d’où elles dérivent ; il s’ensuit qu’il n’est pas indifférent, quant à la brièveté du calcul, de rejeter l’une ou l’autre des conditions équivalentes ; mais il n’entre pas dans notre plan de parler de ces détails ni d’autres artifices pratiques que l’usage apprend mieux que les préceptes.

36. Quand tous les modules $A$, $B$, $C$, etc. sont premiers entr’eux, il est préférable le plus souvent d’employer la méthode suivante. On déterminera un nombre $\alpha$ congru à l’unité suivant $A$, et à $0$ suivant le produit des autres modules ; c’est-à-dire, que $\alpha$ sera une valeur quelconque de l’expression ${\frac {1}{BCD\ {\text{etc.}}}}{\pmod {A}}$, multipliée par $BCD$ etc. (n^o 52) ; mais il vaut mieux prendre la plus petite de ces valeurs. Soit de même $\beta \equiv 1{\pmod {B}}$, et $\equiv 0{\pmod {ACD\ {\text{etc.}}}}$ ;