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ARITHMÉTIQUES.

$x^{2}+3,$ $x^{2}+5,$ et sous la forme des non-diviseurs de $x^{2}+7,$ $x^{2}-13,$ et partant (n^o 150) sous la forme des diviseurs de $x^{2}+1365.$ Le caractère du genre dans lequel se trouvent les classes Γ est

$1,4\,;\qquad R3\,;\qquad R5\,;\qquad N7\,;\qquad N13.$

Il n’y a qu’une classe dans ce genre ; nous prendrons dans cette classe la forme $6x^{2}+6xy+229y^{2}.$ Afin de trouver toutes les représentations du nombre $M,$ nous ferons $2x+y=x',$ d’où il résultera $3x'^{2}+455y^{2}=2M\,;$ cette équation admet quatre solutions dans lesquelles $y$ est positif,

$y=127\,;\qquad x'=\pm 1083\,;\qquad y=119\,;\qquad x'=\pm 1213\,;$

d’où il résulte quatre solutions de l’équation $6x^{2}+6xy+229y^{2}=M,$ dans lesquelles y est positif,

$x=478$,	——	$-605$,	——	$547$,	——	$-666$
$y=127$,		$127$,	——	$119$,		$119$.

la première solution donne pour $v$ la valeur de l’expression ${\frac {30517}{478}}$ ou $-{\frac {3249}{127}}{\pmod {M}},$ d’où l’on tire $2350978\,;$ la seconde donne la valeur opposée ; la troisième, la valeur $2600262,$ et la quatrième, la valeur opposée.

2^o. Si l’on doit chercher les valeurs de l’expression ${\sqrt {-286}}{\pmod {4272943=M}},$ le caractère du genre dans lequel sont les classes Γ se trouve être $1$ et $7,8\,;$ $R11\,;$ $R13.$ C’est donc le genre principal, qui contient trois classes représentées par les formes

$(1,0,286),\quad (14,6,23),\quad (14,-6,23).$

On doit négliger la troisième, comme opposée à la seconde. On trouve deux représentations du nombre $M$ par la forme $x^{2}+286y^{2},$ dans lesquelles $y$ est positif, savoir, $y=103,$ $x=\pm 1113,$ qui donnent pour l’expression proposée les valeurs $\pm 1493445\,:$ et comme $M$ n’est pas représentable par la forme $(14,6,23),$ il s’ensuit qu’il n’y a que les deux valeurs que nous venons de trouver.

3^o. Étant proposée l’expression ${\sqrt {-70}}{\pmod {997331}},$ les classes Γ devront être contenues dans le genre dont le caractère est $3$ et $5,8\,;$ $R5$ ; $N7$. Ce genre ne renferme qu’une classe dont