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ARITHMÉTIQUES
question est donc réduite à déterminer combien il y a de nombres
au dessous de , qui soient congrus à quelqu’un des nombres
, , etc. suivant le module , à quelqu’un des nombres
, , etc. suivant le module , etc. ; mais (no 52) tous les
nombres qui ont des résidus donnés suivant chacun des modules
etc. doivent être congrus suivant leur produit , et
parconséquent il ne peut y en avoir qu’un seul congru à des résidus donnés suivant les modules , , , etc., et qui soit plus
petit que . Ainsi le nombre cherché sera égal au nombre des
combinaisons des différens nombres , , , etc. avec les nombres
, , , etc. et les nombres , , , etc., etc. Or par la théorie
des combinaisons, ce nombre est . etc.
4o. On voit facilement comment on peut appliquer cette proposition au cas dont il s’agit. On décomposera en facteurs premiers ; c’est-à-dire, qu’on le réduira à la forme etc.,
, , , etc. étant des nombres premiers différens. Alors on aura
qui peut se mettre sous la forme plus élégante
etc.
Exemple : Soit on aura Ces nombres premiers avec 60, sont : , , , , , , , , , , , , , , .
La première solution de ce problème se trouve dans le Mémoire
d’Euler, intitulé : Theoremata arithmetica novâ methodo demonstrata. (Comment. nov. acc. Petrop. VIII, pag, 74). La démonstration en a été donnée encore dans une autre dissertation intitulée :
Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum.
(Acta Petrop, VIII, p. 17).
39. Si la signification du caractère est déterminée de manière
à ce que exprime combien il y a de nombres premiers avec
et non plus grands que alors on n’aura plus mais
mais dans tous les autres cas il n’y aura rien de changé. En adoptant cette définition, nous aurons le théorème suivant :