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RECHERCHES

$3z+1$ ou $3z+2$^[1]. Cela posé, comme on a

$k=2a-b-c=3a-m,$

on en tire

$a={\frac {k+m}{3}}$,——$b+c=m-a={\frac {1}{3}}(2m-k),$

d’où

$C$	$=a^{2}-bc$	$=a^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}$
		$={\frac {1}{9}}(m+k)^{2}-{\frac {1}{36}}(2m-k)^{2}+{\frac {1}{4}}N^{2}$
		$={\frac {1}{12}}k^{2}+{\frac {1}{3}}km+{\frac {1}{4}}N^{2}$ ;

et ainsi tous les coefficiens de l’équation cherchée se trouvent déterminés.

Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour $N^{2}$ sa valeur tirée de l’équation

$(3k-2)^{2}+27N^{2}=4n=12m+4\,;$

ce qui donne

$C={\frac {1}{9}}(m+k+3km)={\frac {1}{9}}(m+kn).$

Cette valeur peut encore se représenter sous la forme

$C=(3k-2)N^{2}+k^{3}-2k^{2}+k-km+m,$

qui est d’une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut.

Exemple. Pour $n=19$ on a $4n=49+27$, d’où $3k-2=7$, $k=3$, $C={\frac {1}{9}}(6+57)=7$, et l’équation cherchée est

$x^{3}+x^{2}-6x-7=0,$

comme ci-dessus (n^o 351).

De même, pour $n=7$, $13$, $31$ $37$, $43$, $61$, $67$, on trouve respectivement $k=1$, $-1$, $2$, $-3$, $-2$, $1$, $-1$ et

$C=1$, $-1$, $8$, $-11$, $-8$, $9$, $-5$.

Au reste, quoique le problème que nous venons de résoudre soit

assez

1. $M$ ne peut être de la forme $3z$, car alors $4n$ serait divisible par $3$. Quant à l’ambiguïté de signe qui porte sur $b-c$, il est inutile de s’y arrêter, et même cette détermination est impossible par la nature même de la chose, puisqu’elle dépend du choix de la racine $g$, de manière que pour quelques racines primitives $b-c$ est positif, tandis que pour d’autres il est négatif.