premier avec la congruence pourra être résolue suivant
le module et toute valeur de qui y satisfera suivant ce
module, y satisfera aussi (no 5) suivant le module diviseur de
; donc on trouvera alors ce qu’on cherchait. Si n’est pas
premier avec , soit le produit des facteurs premiers de qui
divisent en même temps sera premier avec et si la condition que soit premier avec a lieu, sera aussi premier avec
et comme il divise il divisera donc ainsi en résolvant
la congruence ce qui peut se faire puisque
est premier avec la valeur de satisfera aussi à la congruence, suivant le module Tout l’artifice consiste à trouver un
nombre qui puisse remplacer que nous ne connaissons pas ; mais
il faut se souvenir que dans le cas où n’est pas premier avec
nous avons supposé premier avec et si cette condition manque,
toutes les conclusions sont fausses ; c’est pourquoi, si en suivant témérairement les règles, on trouve pour une valeur dont la puissance
ne soit pas congrue à le résultat prouvera que cette condition
n’a pas lieu, et que partant la méthode n’est pas applicable,
68. Mais dans ce cas même, il est souvent avantageux de faire cette recherche : elle offre l’avantage de faire trouver de vraies valeurs au moyen des fausses. Supposons en effet que les nombres et aient été convenablement déterminés, mais qu’on n’ait pas Alors si on pouvait seulement déterminer les valeurs de , ces différentes valeurs étant multipliées par donneraient celles de en effet, si est une valeur de on aura mais l’expression est plus simple que parceque le plus souvent appartient à un exposant moindre que car si est le plus grand commun divi-