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ARITHMÉTIQUES.
Pour trouver un quarré congru à un nombre donné de la
forme , suivant le module on peut employer une méthode semblable à celle du no 101, ou suivre le procédé du no 88.
Pour les nombres pairs, on peut faire usage de ce que nous avons
dit généralement no 102.
104. Pour ce qui regarde le nombre de valeurs différentes,
c’est-à-dire incongrues suivant le module, que peut admettre
l’expression , pourvu que soit un résidu
de , on déduit facilement de ce qui précède, les conclusions
suivantes. Nous supposons toujours que est un nombre premier et, pour abréger, nous considérons en même temps le cas
où .
1o. Si n’est pas divisible par , n’a qu’une seule valeur
pour et ; ce sera ; il en a deux quand est impair, ou bien quand on a et ; et, si l’une est ,
l’autre sera ; il en a quatre pour et ; et si l’une
est les autres seront , .
2o. Si est divisible par , mais non par , soit la plus haute
puissance de qui divise , car cette puissance doit être paire (no 102),
et ; il est clair que toutes les valeurs de doivent être
divisibles par et que tous les quotiens donnés par ces divisions
seront les valeurs de l’expression ; on
aura donc toutes les valeurs différentes de , en multipliant par
, toutes celles de contenues entre et . Elles seront,
par conséquent,
, , ,……,
étant une valeur quelconque de : suivant donc que aura ,
ou , ou valeurs, en aura , ou , ou (1o.).
3o. Si est divisible par , on voit facilement, en posant
ou , suivant que est pair ou impair, que
tous les nombres divisibles par sont des valeurs de , et qu’il
n’y en a pas d’autres ; mais les nombres divisibles par sont
, , ,… dont le nombre est .