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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

équations (I). Si nous adoptons la troisième solution enseignée dans l’art. 78, II, la combinaison de la première équation avec la troisième produit l’algorithme suivant : l’angle auxiliaire $\zeta$ sera déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \zeta ={\frac {{\dfrac {r'}{r}}-1}{1-{\dfrac {r'}{r''}}}}.{\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')}{\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}$,

et l’on aura

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{4}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{4}}\mathrm {N} ''-\Pi \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{4}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ).$

En changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième, on obtiendra deux autres solutions entièrement analogues à celle-ci.

Comme en employant cette méthode les formules relatives à ${\frac {e}{p}}$ se résolvent moins promptement, il vaudra mieux déduire $e$ et $p$ des deux équations (I) par la méthode de l’art. 80. Enfin, l’ambiguïté dans la détermination de $\Pi$ par la tangente de l’angle ${\frac {1}{4}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{4}}\mathrm {N} ''-\Pi$ devra être ici écartée par la considération que $e$ est une quantité positive ; il est en effet évident, que $e$ acquière des valeurs opposées si l’on prend pour $\Pi$ des valeurs différant entre elles de 180°. Mais le signe de $p$ ne dépend pas de cette ambiguïté et sa valeur ne peut être prise négativement, à moins que les trois points donnés n’appartiennent à un arc d’hyperbole opposé au Soleil, cas contraire aux lois de la nature, et auquel nous n’avons pas ici égard.

Les quantités que l’on obtiendrait, d’après l’application de la première méthode de l’art. 78, II, après de pénibles substitutions, peuvent être, dans le cas actuel, déterminées plus commodément de la manière suivante : Que l’on multiplie la première des équations II par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '),$ la troisième par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ),$ et que l’on retranche le dernier produit du premier. Alors, par l’application exacte du lemme I de l’art. 78^[1], on obtiendra l’équation

1. C’est-à-dire, en posant dans la seconde formule
   $\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '),\quad \mathrm {B} ={\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi ,\quad \mathrm {C} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {N} -\mathrm {N} ')$