— ItiT ABSTRACTION les rapports les plus généraux do toutes les espèces de grandeurs, sans tenir compte des matières spéciales où ils sont réalisés, sinon des produits de l'abstraction? De même dans les sciences expérimentales. Celles-ci opèrent sur les faits ; elles cherchent les lois des faits ; cependant elles font de l'abstraction un usage constant et nécessaire. Eu effet, une loi est un rapport, et, si l'expérience seule permet de la dégager des faits, il a fallu cependant, pour l'obtenir, négliger une partie de l'expérience, par exemple telle ou telle circonstance accidentelle. Enfin, dans cet ordre do sciences, la découverte n'est parfaite que le jour où la loi peut être formulée mathématiquement. Or, pour cela, il faut que les rapports sensibles entre les faits soient ramenés à des grandeurs, c.-à-d. à des abstractions. L'abstraction est donc d'une importance capitale dans la constitution de la science; si elle n'en est pas le facteur principal, elle en prépare et en élabore les matériaux. L. Liard. II. Mathématiques. — Méthode par abstraction. C'est une des méthodes les plus fécondes, les plus générales et les plus fréquemment employées pour la démonstration des théorèmes et la résolution des problèmes géométriques. On peut en général regarder une vérité géométrique énoncée pour une certaine figure comme un cas particulier d'une autre vérité plus étendue, relative à une figure plus générale que la première, et dans laquelle certains éléments seraient définis par un nombre moindre de conditions que dans la figure de l'énoncé. On pourra donc, dans certains cas spéciaux, faire abstraction d'une ou de plusieurs des propriétés qui définissent certains éléments principaux de la figure primitive, pour ne conserver que celles qui paraîtront suffire à l'existence d'une proposition plus gé- nérale et dont la proposée ne sera qu'un cas particulier. Il arrivera souvent, d'ailleurs, que la démonstration de cette proposition générale paraîtra plus facile que celle de la proposition primitive, et c'est ce dont il est facile de se rendre compte : l'une des plus grandes difficultés que l'on éprouve à établir telle propriété d'une figure donnée réside, en effet, dans le choix que l'on a préalablement à faire des relations utiles et dans leur séparation de toutes les autres relations, souvent en nombre considérable, qui existent entre les éléments de la figure et que l'on n'a pas à employer dans la démonstration de la proposition. Si donc on est parvenu à cette séparation des relations utiles, on aura réelle- ment fait un pas vers la solution de la question proposée. A cette méthode d'abs- traction se rat- tache encore l'emploi des lieux géométri- ques ou des cour- bes enveloppes "^j dansla résolution /■ des problèmes
'*;, déterminés,
"V* ayant pour objet
- ^ de trouver un
v point (ou une droite) satisfaisant à plusieurs conditions A et B. En effet, si l'on fait alternativement abstraction de l'une des conditions B ou A, qui définissent le point (ou la droite) que l'on cherche, on trouvera successivement deux lieux géométriques (a) et (b) [ou deux courbes enveloppes (a) et (Ji)] des points (ou des droites) satisfaisant isolé- ment aux conditions A et aux conditions B. Le point ou la droite que l'on cherche sera donc le point commun aux (a) et (b), ou la tangente commune aux courbes (a; et (!";). Cette méthode par l'intersection des lieux géométriques est due à l'école de Platon (430-347 av. J.-C). L'élégance et la valeur pratique de la solution sont d'ailleurs subordonnées au choix plus ou moins habile des deux conditions dont on fait abstraction tour à tour, car de ce choix dépendent la nature et la facilité de re- cherches des deux lieux employés. Il va de soi que la ligne droite et le cercle, quand ils sont possibles, doivent être préférés à tous les autres lieux. La méthode se prête, d'ailleurs, aussi bien à la discussion des pro- blèmes qu'à leur solution. On commence par chercher les conditions pour que les deux lieux obtenus se rencontrent : le nombre de leurs points (ou de leurs tangentes com- munes) et le nombre des positions du point (ou de la droite) choisi pour inconnue. On cherche ensuite, si l'on ne l'aperçoit immédiatement, combien, à chaque position du point (ou de la droite) cherché, répondent de figures remplissant les conditions de l'énoncé, ce qui conduit au nombre des solutions du problème. Nous allons maintenant éclaircir ces généralités par quelques exemples : 1° Dans un quadrilatère circon- scrit à un cercle, la droite qui joint les milieux des diagonales passe par le centre du cercle (Théorème de Newton) : Soit un quadrilatère abcd et o le centre du cercle inscrit. Parmi les nombreuses relations qui lient le point o au quadrilatère, choisissons la suivante : (1) tri oab -f tri ocd-=. tri obc~- tri oda qui exprime une relation évidente par suite de l'égalité des (leux tangentes menées au cercle par un point extérieur et de l'égalité commune des hauteurs au rayon du cercle inscrit. Or il est facile de démontrer que, dans un qua- drilatère quelconque abcd, tout point o satisfaisant à la relation (1) est situé sur la droite mn qui joint les mi- lieux des diagonales. En effet, la relation en question donne immédiatement. tri oab — tri obe = tri oad — tri oed ou tri omb = tri omd ce qui ne peut avoir lieu que si om passe par le milieu n de bd, et le théorème de Newton n'est qu'un cas parti- culier de cet autre plus général : Dans un quadrilatère plan quelconque, le lieu des points o tels que des quatre triangles ayant pour sommet commun l'un de ces points, et pour bases respectives les quatre côtés du quadrilatère, la somme de deux triangles non ad- jacents soit égale à la somme des deux autres, est lu droite qui joint les milieux des diagonales (Léon Anne). Emprun- tons un second exemple à la géo- métrie analytique qui, par la démon- stration immédiate qu'elle donnera dune proposition plus générale que cellequ'onaenvue, établira cette der- nière : Les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet comme diamètres ont même axe radical. Les diagonales du quadrilatère peuvent évidemment être con- sidérées comme des coniques infiniment aplaties inscrites à ce quadrilatère. Or, en désignant par S = o et S' = o les équations en coordonnées tangentielles de deux des coniques en nombre infini qu'on peut inscrire au qua- drilatère considéré , une quelconque de ces coniques aura pour équation 2+K E' = o, K désignant une constante quelconque. Le cercle directeur de chacune des coniques 2 et V ne contenant les coefficients de ces coniques qu'au premier degré, celui de la conique S + K u sera de
