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CHAPITRE IV.

et qui, par conséquent, auront un exposant caractéristique nul.

Mais ces $p+1$ solutions ne se confondront pas avec les $p+1$ solutions

$\mathrm {S} ,\quad \mathrm {S} _{1},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{p}.$

Je dis qu’on ne peut avoir, par exemple,

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{k},$

car on a, par hypothèse,

$(\mathrm {S} ,\mathrm {S} _{k})=(\mathrm {S} _{1},\mathrm {S} _{k})=\ldots =(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} _{k})=0,$

et, d’après la définition même de $\mathrm {S} ',$ $\mathrm {S} '$ ne jouit pas de cette propriété.

Il y a donc en tout $2p+2$ solutions fondamentales dont l’exposant est nul ; il y a donc au moins $2p+2$ exposants caractéristiques qui sont nuls.

C.Q.F.D.

72.Supposons maintenant qu’il existe $p$ intégrales (outre $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$), à savoir

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{p}=\mathrm {const.} ,$

mais que les crochets deux à deux de ces $p$ intégrales ne soient pas nuls. Tout ce que nous pourrons affirmer alors, c’est que $p+2$ exposants caractéristiques seront nuls. Mais nous saurons que $p+1$ solutions fondamentales au moins (qui sont celles que nous avons appelées $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p}$) seront de première espèce avec un exposant nul.

Si donc on venait à établir que les équations (2) n’admettent que $p$ solutions linéairement indépendantes qui soient de première espèce avec un exposant nul, on serait certain que les équations (1) ne comportent pas $p+1$ intégrales (en y comprenant $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$), ou du moins que, si ces $p+1$ intégrales existent, tous leurs déterminants fonctionnels par rapport à $p+1$ des $2n$ variables $x$ et $y$ sont nuls à la fois en tous les points de la solution périodique.

Changements de variables.

73.Voyons ce qui arrive des exposants caractéristiques quand on change de variables.