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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Si un ou deux des indices $i$ et $k$ sont égaux à 1, $b_{ik}$ sera défini par la relation

$n_{1}b_{i1}+n_{2}b_{i2}+n_{3}b_{i3}=0.$

Nous allons, à l’aide de cette dernière relation, transformer l’équation (11) de façon à mettre en évidence l’existence de deux racines nulles et à réduire l’équation au quatrième degré.

Je trouve en effet, par une simple transformation de déterminant et en divisant par $\alpha _{1}^{2},$

$\left|{\begin{array}{cccccc}n_{1}&n_{2}&n_{3}&0&0&0\\0&-\alpha _{1}&0&b_{2\,2}&b_{2\,3}&0\\0&0&-\alpha _{1}&b_{3\,2}&b_{3\,3}&0\\\mathrm {C} _{1\,3}^{0}&\mathrm {C} _{2\,3}^{0}&\mathrm {C} _{3\,3}^{0}&-\alpha _{1}&0&n_{3}\\\mathrm {C} _{1\,2}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}&\mathrm {C} _{3\,2}^{0}&0&-\alpha _{1}&n_{2}\\\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&\mathrm {C} _{3\,1}^{0}&0&0&n_{1}\\\end{array}}\right|=0.$

Dans le cas particulier où l’on n’a plus que 2 degrés de liberté, cette équation s’écrit

$\left|{\begin{array}{cccc}n_{1}&n_{2}&0&0\\0&-\alpha _{1}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}&0\\\mathrm {C} _{1\,2}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}&-\alpha _{1}&n_{2}\\\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&0&n_{1}\\\end{array}}\right|=0.$

ou

$n_{1}^{2}\alpha _{1}^{2}={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}\left(n_{1}^{2}\mathrm {C} _{22}^{0}-2n_{1}n_{2}\mathrm {C} _{12}^{0}+n_{2}^{2}\mathrm {C} _{11}^{0}\right).$

L’expression $n_{1}^{2}\mathrm {C} _{22}^{0}-2n_{1}n_{2}\mathrm {C} _{12}^{0}+n_{2}^{2}\mathrm {C} _{11}^{0}$ ne dépend que de $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}$ ou, si l’on veut, de $n_{1}$ et de $n_{2}.$ Quand nous nous serons donné les deux nombres $n_{1}$ et $n_{2},$ dont le rapport doit être commensurable, nous pourrons regarder $n_{1}^{2}\mathrm {C} _{22}^{0}-2n_{1}n_{2}\mathrm {C} _{12}^{0}+n_{2}^{2}\mathrm {C} _{11}^{0}$ comme une constante donnée. Alors le signe de $\alpha _{1}^{2}$ dépend seulement de celui de ${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}\cdot$

Quand on s’est donné $n_{1}$ et $n_{2},$ on forme l’équation

(12)

${\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{2}}}=0.$

Nous avons vu au n^o 42 qu’à chaque racine de cette équation correspond une solution périodique.