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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

On aura alors

(5)

$\left\{{\begin{aligned}x'_{i}&=x_{i}+\mu \xi _{i}+\ldots ,\\y'_{i}&=y_{i}+\mu \eta _{i}+\ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ étant des fonctions des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

Alors l’expression

${\textstyle \sum }(\xi _{i}\,dy_{i}-\eta _{i}\,dx_{i})=d\mathrm {S}$

sera une différentielle exacte. C’est là une conséquence nécessaire de l’identité (4), qui entraîne évidemment la suivante

${\textstyle \sum }(d\xi _{i}\,\delta y_{i}-dy_{i}\,\delta \xi _{i}+dx_{i}\,\delta \eta _{i}-d\eta _{i}\,\delta x_{i})=0.$

Considérons maintenant les équations canoniques

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},$

où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})+\ldots .$

Changeons de variables et prenons les variables (3) comme nouvelles variables, il viendra

$\mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})+\mu \mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})+\ldots .$

Si nous remplaçons les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$ par leurs valeurs (5), il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \,{\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dy_{i}}}\eta _{i}\right)\\&\;\;+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\[1.0ex]\mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ,\\\end{aligned}}$

d’où, en identifiant les deux développements,

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i}),\\\mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})&+\sum \left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{d\mathrm {y_{i}} }}\,\eta _{i}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Si l’on observe que $\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})$ et que

$\xi _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\quad \eta _{i}=-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},$

on pourra écrire

(6)

$\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}=[\mathrm {F} _{0},\,\mathrm {S} ].$