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CHAPITRE VI.

qui est de même forme que

$\int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot$

Le coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ que nous venons de calculer est celui qui entre dans le développement de la partie principale $\mathrm {F} _{1}^{0}$ de la fonction perturbatrice. Nous avons posé en effet

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.$

Il conviendrait maintenant de tenir compte de la partie complémentaire $\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{1}^{0}$ de la fonction perturbatrice. Posons donc

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},$

puis

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(z,\,t)&=\mathrm {F} _{1}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},\\2i\pi \Phi '(z)&=\int \mathrm {F} '(z,\,t)\,dt.\\\end{aligned}}$

Si l’on suppose $m_{1}=an+b,$ $m_{2}=cn+d,$ $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ sera le coefficient de $z^{n}$ dans $\Phi '(z)$ de même que $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ était le coefficient de $z^{n}$ dans $\Phi (z).$

La fonction $\mathrm {F} '(z,\,t)-\mathrm {F} (z,\,t)$ n’a d’autres points singuliers que ceux des droites

${\begin{aligned}x&=\tau ,&x&={\frac {1}{\tau }},&y&=\tau ',&y&={\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}$

La fonction $\Phi '(z)-\Phi (z)$ n’aura donc que 4 points singuliers, à savoir

${\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}$

Il en résulte que, si le point singulier qui convient à la question n’est pas un de ces quatre points, c’est-à-dire dans les deux premières hypothèses du n^o 99 (ce qui est le cas le plus ordinaire), la différence $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}-\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ sera négligeable par rapport à $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}},$ et la valeur approchée de $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ sera la même que celle de $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}.$

Si, au contraire, le point singulier $z_{0}$ qui convient à la question