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CHAPITRE VII.

divisible par $\alpha ^{2}$ et je puis poser

$\Xi _{i}=\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}'$

$\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}$ représentant l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux $\xi$ et aux $\eta ,$ et $\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}'$ représentant l’ensemble des termes de degré supérieur.

De même, quand $\alpha$ est nul, ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$ et par conséquent $\mathrm {H} _{i}$ ne dépendent plus que des $\xi _{i}$ et non des $\eta _{i}.$

Je puis donc poser

$\mathrm {H} _{i}=\mathrm {Y} _{i}+\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}',$

$\mathrm {Y} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}$ représentant l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux $\xi$ et $\eta ,$ pendant que $\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}'$ représentent l’ensemble des termes de degré supérieur au premier. Je suppose en outre que $\mathrm {Y} _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}'$ ne dépendent que de $\xi _{1}$ et de $\xi _{2}.$

Posons

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\alpha \zeta _{1},&\xi _{2}&=\alpha \zeta _{2},\end{aligned}}$

$\mathrm {Y} _{i}$ deviendra divisible par $\alpha$ et $\mathrm {Y} _{i}'$ par $\alpha ^{2},$ de sorte que je pourrai poser

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}&=\alpha \mathrm {Z} _{i},&\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}'&=\alpha \mathrm {Z} _{i}'\end{aligned}}$

et que nos équations deviendront

(12)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\zeta _{i}}{dw}}&=\alpha \mathrm {X} _{i}+\alpha \mathrm {X} _{i}'\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\eta _{i}}{dw}}&=\alpha \mathrm {Z} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Z} _{i}'\\\end{aligned}}\right.$

Considérons les équations

(13)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}&=\alpha \mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=\alpha \mathrm {Z} _{i}.\\\end{aligned}}\right.$

Ces équations sont linéaires par rapport aux inconnues $\zeta _{i}$ et $\eta _{i}.$ Elles ne diffèrent pas des équations (2) du n^o 79, sinon parce que $\xi _{1}$ et $\xi _{2}$ y sont remplacés par $\alpha \zeta _{1}$ et $\alpha \zeta _{2}.$ D’après ce que nous avons aux n^os 69 et 74, l’équation qui définit les exposants caracté-