Ainsi les règles ordinaires du calcul sont applicables au calcul formel.
La question la plus intéressante pour ce qui va suivre est de savoir si les théorèmes de Jacobi exposés aux nos 3 et 4 sont applicables au calcul formel.
La réponse à cette question doit être affirmative ; nous le démontrerons plus loin au no 125 sur un exemple particulier, mais la démonstration peut s’étendre sans changement au cas général.
122.Dans le Tome VIII des Acta mathematica, page 290, j’ai démontré certaines propriétés des égalités asymptotiques.
On peut additionner deux égalités asymptotiques ; on peut également les multiplier l’une par l’autre.
Soit maintenant
une série divergente, les étant fonctions de
Soit
une égalité asymptotique.
Supposons que de sorte que, pour on ait
Soit maintenant une fonction de holomorphe pour
Substituons à la place de dans et développons suivant les puissances de par les règles ordinaires du calcul, ainsi qu’il a été expliqué au numéro précédent. On aura l’égalité asymptotique
Il est inutile de reproduire ici les démonstrations ; le lecteur pourra les retrouver dans le Mémoire cité ; mais je l’engage à n’en pas prendre la peine ; car elles sont si faciles qu’il aura plus vite fait de les reconstruire lui-même.
Soit maintenant une égalité asymptotique