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CHAPITRE XXII.

vient alors

${\frac {d\mathrm {V} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}'(z+t)\,dx_{k}'=\int d\mathrm {U} (z+t)=\int \mathrm {U} (z+t)+f(t),$

$f(t)$ étant une fonction arbitraire de $t.$

Or $\mathrm {U} (z)$ peut être regardé comme la dérivée par rapport à $z$ d’une autre fonction $\mathrm {W} (z)$ dépendant aussi des $y$ et l’on aura

${\frac {d}{dt}}\,\mathrm {W} (z+t)=\mathrm {U} (z+t).$

Comme d’autre part $\mathrm {V}$ doit se réduire à une constante pour $t=0,$ nous conclurons finalement

$\mathrm {V} =\mathrm {W} (z+t)-\mathrm {W} (z)+\varphi (t),$

$\varphi (t)$ désignant une fonction arbitraire de $t$ seulement que l’on pourrait d’ailleurs supposer nulle sans restreindre essentiellement la généralité.

On trouve alors

$\mathrm {B} _{k}(z)={\frac {d}{dx_{k}'}}\,\mathrm {W} (z)+\mathrm {C} _{k},$

$\mathrm {C} _{k}$ étant indépendant de $z,$ de sorte que l’expression (1 bis) se réduit à

$\int d\mathrm {W} +\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{k}\,dx_{k}',$

la première intégrale étant celle d’une différentielle exacte et la seconde étant un invariant intégral absolu.

240.Traitons de même un invariant relatif d’ordre supérieur au premier ; soit

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega$

cet invariant qui, après le changement de variables, deviendra

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega '.$

L’intégrale

(1)

$\int {\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {B} (z+t)-\mathrm {B} (z)\right]\,d\omega '=\mathrm {J}$

devra être nulle quelle que soit la variété fermée d’ordre $p$ à laquelle on l’étende.