Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/282

270

CHAPITRE XXIX.

ont pour équations

${\begin{aligned}x&=f_{1}(t),&y&=f_{2}(t)\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}x&=f_{1}(t)+e^{\alpha t}\varphi _{2}(t),&y&=f_{2}(t)+e^{\alpha t}\psi _{2}(t),\end{aligned}}$

correspondent à une même valeur de la constante des forces vives.

On verrait de même qu’il en est encore ainsi de la trajectoire qui a pour équation

${\begin{aligned}x&=f_{1}(t)+e^{-\alpha t}\varphi _{2}(t),&y&=f_{2}(t)+e^{-\alpha t}\psi _{2}(t),\end{aligned}}$

Rien n’empêche donc de poser

${\begin{aligned}\xi _{2}&=e^{\alpha t}\varphi _{2},&\eta _{2}&=e^{\alpha t}\psi _{2},\\\xi _{3}&=e^{-\alpha t}\varphi _{3},&\eta _{3}&=e^{-\alpha t}\psi _{3}.\end{aligned}}$

Alors $\zeta (t)$ est de la forme suivante

$\zeta (t)=e^{2\alpha r}\mathrm {G} (t),$

$\mathrm {G} (t)$ étant une fonction périodique.

Cas des solutions stables.

347.Nous devons maintenant distinguer deux cas :

1^o La solution est stable et $\alpha ^{2}$ est négatif. Dans ce cas $\xi _{2}$ et $\xi _{3},$ $\eta _{2}$ et $\eta _{3}$ sont imaginaires conjugués ; $\zeta$ et $\mathrm {G}$ ont pour module l’unité. Nous allons faire trois hypothèses que nous justifierons plus loin.

1^o Supposons d’abord que $\mathrm {G} (t)$ ne devienne jamais ni nul ni infini ;

2^o Que la fonction

$t+{\frac {1}{2\alpha }}\log \mathrm {G} (t)=\tau$

qui est essentiellement réelle soit aussi constamment croissante ;

3^o Supposons de plus que $\log \mathrm {G} (t)$ soit une fonction périodique.

Alors, l’équation (3) pourra s’écrire, en appelant $\tau '$ et $\tau ''$ les deux valeurs de $\tau$ qui correspondent à $t'$ et à $t'',$

$\tau ''-\tau '={\frac {k\,i\,\pi }{\alpha }}$  ($k$ étant entier).