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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

linéaires par rapport aux dérivées secondes de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ si une exponentielle de cette forme satisfait à ces équations, la partie réelle et la partie imaginaire y satisferont séparément. Nous pourrons donc, comme nous l’avons déjà dit (51), chercher les solutions de la forme

$\xi =\xi _{0}e^{-{\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {V} t}$

et ensuite prendre pour valeur de la composante du déplacement la partie réelle de cette solution.

Pour simplifier, posons

${\frac {2\pi }{\lambda }}=\alpha$

nous aurons

$\xi =\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}.$

La dérivée seconde de $\xi$ par rapport à $t$ sera,

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

$\xi _{0}$ ne dépendant pas du temps puisque les fonctions $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ n’en dépendent pas. La dérivée seconde par rapport à $x$ est

${\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\xi _{0}}{dx^{2}}}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}\,;$

par conséquent on aura

$\Delta \xi =\Delta \xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}.$

Pour que la première équation des mouvements transversaux,

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi$