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DIFFRACTION

est continu, mais que $\xi _{1}$ est une fonction discontinue. Donc ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ est continu et $\xi _{0}$ sera une fonction discontinue qui subira un saut brusque égal à $4\pi \mathrm {X} _{2}$ quand on franchira la surface attirante.

81. La combinaison des intégrales (7) et (10) nous donne la solution la plus générale de l’équation (1).

En effet si $\mathrm {X} _{1}$ et $\mathrm {X} _{2}$ sont deux fonctions quelconques des coordonnées d’un élément $d\omega$ d’une surface quelconque ; si $r$ est la longueur de la droite qui joint l’élément $d\omega$ au point $x,$ $y,$ $z\,;$ et que $\psi$ désigne l’angle que fait cette droite avec la normale à l’élément $d\omega ,$ l’expression,

(11)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{1}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega +\int \mathrm {X} _{2}\cos \psi {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\,d\omega$

satisfera à l’équation (1). Il nous reste à montrer que c’en est là l’intégrale générale.

Soit $\mathrm {U}$ une fonction quelconque finie et continue ainsi que toutes ses dérivées et satisfaisant à l’équation (1) en dehors d’une certaine surface $\mathrm {S} .$

Soit $\mathrm {V}$ le potentiel dû à un certain volume attirant dont une partie pourra se trouver en dehors de la surface $\mathrm {S} .$ On aura

(12)

$\Delta \mathrm {V} +\alpha ^{2}\mathrm {V} =0,$

en dehors du volume attirant, et en un point de ce volume

(13)

$\Delta \mathrm {V} +\alpha ^{2}\mathrm {V} +4\pi \rho =0,$

$\rho$ étant la densité de la matière attirante.