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DIFFRACTION

83. Équations de la diffraction. — Soit $\mathrm {O}$ une source lumineuse que nous supposerons réduite à un point dont les déplacements sont des fonctions périodiques du temps. Ce point deviendra le centre d’une série d’ondes sphériques dont chaque point sera animé d’un mouvement périodique. Les composantes du déplacement d’un de ces points seront les parties réelles d’expressions de la forme

(1)

${\begin{aligned}\xi &=\xi _{1}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\\[1.5ex]\eta &=\eta _{1}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\\[1.5ex]\zeta &=\zeta _{1}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\\\end{aligned}}$

$\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},$ satisfaisant aux équations différentielles

(2)

${\begin{aligned}\Delta \xi _{1}+\alpha ^{2}\xi _{1}&=0,\\[1.5ex]\Delta \eta _{1}+\alpha ^{2}\eta _{1}&=0,\\[1.5ex]\Delta \zeta _{1}+\alpha ^{2}\zeta _{1}&=0.\\\end{aligned}}$

$\Theta _{1}={\frac {d\xi _{1}}{dx}}+{\frac {d\eta _{1}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{1}}{dz}}=0.$

Les ondes sont sphériques, d’où il résulte, non que $\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1}$ sont fonctions de $r$ seulement, (ce qui est incompatible avec la condition de transversalité) mais que ces quantités varient beaucoup plus lentement quand on se déplace sur la surface d’une sphère $\mathrm {S}$ ayant son centre en $\mathrm {O}$ que si l’on se déplace normalement à cette sphère.

Nous poserons donc

$\xi _{1}=\xi _{2}e^{i\alpha r},\qquad \eta _{1}=\eta _{2}e^{i\alpha r},\qquad \zeta _{1}=\zeta _{2}e^{i\alpha r},$

$\xi _{2},\eta _{2},\zeta _{2}$ variant beaucoup plus lentement que le facteur $e^{i\alpha r}.$