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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

B et C ; on n’y peut satisfaire que très sensiblement, c’est-à-dire à des quantités près de l’ordre de la longueur d’onde $\lambda .$

Nous avons vu plus haut que si une fonction $\xi _{0}$ satisfait à l’équation $\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}=0$ à l’extérieur d’une surface $\mathrm {S} ,$ si aux divers points de cette surface elle se réduit à $-4\pi \mathrm {X} _{2}$ pendant que ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ se réduit à $4\pi \mathrm {X} _{1},$ on aura à l’extérieur de $\mathrm {S}$

(3)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{2}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega +\int \mathrm {X} _{1}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

tandis qu’à l’intérieur de $\mathrm {S} ,$ le second membre de (3) se réduira à $0.$

Ici notre surface $\mathrm {S}$ se réduit à une sphère de centre $\mathrm {O} \,;$ $\xi _{0}$ et ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ sont très sensiblement nuls pour les points de l’écran ; pour les points extérieurs à l’écran, $\xi _{0}$ est à peu près égal à $\xi _{1}$ et ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ à $i\alpha \xi _{1}$ si l’on considère la normale à $\mathrm {S}$ comme dirigée vers l’extérieur, et à $-i\alpha \xi _{1},$ si on regarde cette normale dirigée vers l’intérieur, ainsi qu’on doit le faire dans l’application de la formule (15) du n^o 81.

Si donc nous prenons

$\mathrm {X} _{1}=i\alpha \mathrm {X} _{2}=0,$

pour les points de l’écran de $\mathrm {S}$ et

$\mathrm {X} _{1}=i\alpha \mathrm {X} _{2}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}}{4\pi }},$

pour les points extérieurs à l’écran, le second membre de (3) différera très peu de $\xi _{0}$ à l’extérieur de $\mathrm {S}$ et très peu de $0$ à l’intérieur de $\mathrm {S} .$