Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/145

131

DIFFRACTION

geables sont celles qui correspondent aux points très voisins du pôle $\mathrm {Q}$ du point éclairé $\mathrm {P} ,$ nous n’étendrons l’intégrale qu’à ces points, et nous pourrons considérer $\mathrm {X} _{2}$ et $\psi$ comme des constantes. Comme en outre $\alpha$ est une quantité très grande et que $r$ doit être fini pour que les phénomènes de diffraction soient observables, nous pouvons dans la quantité placée sous le signe d’intégration négliger le terme ${\frac {\cos \psi }{r}}$ par rapport aux deux autres termes $i\alpha$ et $i\alpha \cos \psi .$ En faisant cette simplification et en mettant les termes considérés comme constants en dehors de l’intégrale, nous avons

$\xi _{0}=\mathrm {X} _{2}i\alpha \left(1+\cos \psi \right)\int {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega .$

On sait d’ailleurs (84) que

$\mathrm {X} _{2}=-{\frac {\xi _{1}}{4\pi }}\,;$

par conséquent, en remplaçant, dans l’expression de $\xi _{0},\mathrm {X} _{2}$ et $\cos \psi$ par les valeurs de ces quantités au pôle $\mathrm {Q} ,$ nous aurons

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha }{2\pi }}\,\xi _{1}\int {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}d\omega .$

La distance $r$ du point $\mathrm {P}$ aux points de la sphère qui avoisinent le pôle $\mathrm {Q}$ diffère très peu de la distance $\mathrm {PQ} =b,$ et, par suite, peut être mise en dehors de l’intégrale puisque cette intégrale n’est étendue qu’aux points voisins de $\mathrm {Q} .$ La valeur de $\xi _{0}$ deviendra

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi _{1}}{b}}\int e^{i\alpha r}\,d\omega .$