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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

coordonnées coïncide avec le centre de la fente, les limites d’intégration seront $-a$ et $+a$ pour $x,$ et $-b$ et $+b$ pour $y.$ Les limites d’intégration étant des constantes, l’intégrale précédente est le produit des deux intégrales simples, prises, l’une par rapport à $x,$ et l’autre par rapport à $y.$ Nous aurons à chercher le module du produit

$\int _{-a}^{+a}e^{i\alpha lx}\,dx\int _{-b}^{+b}e^{i\alpha my}\,dy.$

Pour simplifier nos expressions, posons

(1)

$\alpha l=u,\qquad \qquad \alpha m=v\,;$

nous aurons

$\int _{-a}^{+a}e^{iux}\,dx\int _{-b}^{+b}e^{ivy}\,dy.$

La première intégrale de ce produit a pour valeur

${\frac {e^{iau}-e^{-iau}}{iu}}={\frac {2\sin au}{u}}\cdot$

La valeur de l’intégrale prise par rapport à $y$ est

${\frac {e^{ibv}-e^{-ibv}}{iv}}={\frac {2\sin bv}{v}}\cdot$

Le produit des deux intégrales sera

$4\,{\frac {\sin au}{u}}\cdot {\frac {\sin bv}{v}}$