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DIFFRACTION

somme

$\sum e^{i(ua+vb)}.$

Or, le produit de deux quantités imaginaires conjuguées est égal au carré du module de l’une de ces imaginaires ; l’intensité lumineuse sera donc proportionnelle à

$\sum e^{i(ua+vb)}\;\sum e^{-i(ua+vb)}=\sum e^{i\left(u(a-a')+v(b-b')\right)}$

$a'$ et $b'$ étant les coordonnées d’un second point lumineux quelconque.

Le nombre des termes de ce produit est $n^{2}.$ Pour $n$ d’entre eux, on a $a=a',$ $b=b'$ et la valeur de chacun d’eux est 1 ; leur somme sera $n.$ Pour les $n^{2}-n$ autres termes le module est $1$ et l’argument, $u(a-a')+v(b-b').$ Cet argument peut prendre toutes les valeurs possibles puisque les points sont irrégulièrement distribués. Or, on sait que la valeur moyenne de $e^{i\varphi },$ où $\varphi$ peut prendre toutes les valeurs possibles, est zéro ; par conséquent, la somme des $n^{2}-n$ termes considérés est nulle. L’intensité en un point éclairé par les $n$ points de même intensité sera donc une constante égale à $n$ fois l’intensité donnée par un seul point éclairant.

114. Cas de $n$ ouvertures. — Considérons $n$ ouvertures égales, semblablement disposées mais irrégulièrement placées dans le plan. D’après le théorème de Bridge (108), l’intensité sera le produit de deux facteurs, dont l’un est proportionnel à l’intensité donnée par une seule fente, et l’autre proportionnel à l’intensité donnée par $n$ points placés dans le plan comme le sont les ouvertures. Quand ces ouvertures seront irréguliè-