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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

118. Cas de $n$ points en ligne droite et équidistants. — Désignons par $2a$ la distance de deux points consécutifs ; prenons pour axe des $x$ la droite qui passe par tous les points et pour origine le premier des points. Les abscisses seront :

$0,\quad 2a,\quad 4a,\quad \dots \dots \quad 2(n-1)a$

et l’intégrale dont le carré du module est proportionnel à l’intensité deviendra

(1)

$1+e^{2iau}+e^{4iau}+\dots e^{2(n-1)iau}.$

Les termes de cette somme forment une progression géométrique dont la raison est $e^{2iau}\,;$ la valeur de cette somme est donc

${\frac {e^{2niau}-1}{e^{2iau}-1}}\cdot$

On ne changera pas le module de cette fraction si on la multiplie ou si on la divise par des quantités dont le module est l’unité. Multiplions le numérateur par $e^{-niau}$ et le dénominateur par$e^{-iau}\,;$ nous obtiendrons,

${\frac {e^{niau}-e^{-niau}}{e^{iau}-e^{-iau}}},$

expression que l’on peut écrire

${\frac {\sin nau}{sinau}}\cdot$

L’intensité en un point sera proportionnelle au carré de cette quantité :

(2)

${\frac {\sin ^{2}nau}{sin^{2}au}}\cdot$