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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

128. Explication de la dispersion. — Nous ne nous occuperons pour le moment que des corps isotropes ou des corps ayant un centre de symétrie. Dans ce dernier cas nous prendrons le centre de symétrie pour origine des coordonnées. Les seconds membres des équations du mouvement ne contiendront alors que des dérivées partielles d’ordre pair des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par rapport à $x,\,y,\,z.$

Considérons une onde plane se propageant dans un tel milieu et prenons pour plan des $xy$ un plan parallèle au plan de l’onde. Les déplacements $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ne dépendant que de $z$ et de $t,$ les seules dérivées partielles de ces quantités qui entreront dans les seconds membres des équations du mouvement seront les dérivées partielles d’ordre pair par rapport à $z.$ En admettant la transversalité des vibrations, la condition $\Theta =0$ nous donne pour la valeur de $\zeta _{2}'$ l’identité $\zeta _{2}'=0\,;$ par conséquent, les dérivées partielles de $\zeta$ sont identiquement nulles et les seconds membres des équations du mouvement ne peuvent contenir que les quantités

${\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}},\;{\frac {d^{4}\xi }{dz^{4}}},\;{\frac {d^{6}\xi }{dz^{6}}},\;\dots {\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}},\;{\frac {d^{4}\eta }{dz^{4}}},\;{\frac {d^{6}\eta }{dz^{6}}},\;\dots$

Prenons la première des équations,

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {P} .$

Cette équation ne doit pas changer par la substitution de $-y$ à $y$ et de $-\eta$ à $\eta$ dans le cas des corps isotropes ou dans le cas des corps possédant un centre de symétrie quand on prend ce point comme origine des axes. Or, le premier membre de l’équation ne changeant pas de signe par cette substitution,