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POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION

et les équations du mouvement de l’éther deviennent

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}-a\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-b\rho _{1}\,{\frac {d^{3}\eta }{dz\,dt^{2}}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&={\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-a\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+b\rho _{1}\,{\frac {d^{3}\xi }{dz\,dt^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Si nous essayons de satisfaire à ces équations par des valeurs de $\xi$ et $\eta$ de la forme

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\\end{aligned}}$

nous obtenons les deux équations de conditions :

${\begin{aligned}-\rho \mathrm {AV} ^{2}=&-\mathrm {A} +a\rho _{1}\mathrm {AV} ^{2}+bi\alpha \rho _{1}\mathrm {BV} ^{2},\\[1.5ex]-\rho \mathrm {BV} ^{2}=&-\mathrm {B} +a\rho _{1}\mathrm {BV} ^{2}-bi\alpha \rho _{1}\mathrm {AV} ^{2}.\\\end{aligned}}$

Ces équations peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {A} \left(1-\rho \mathrm {V} ^{2}-a\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}\right)&=\;bi\alpha \rho _{1}\mathrm {BV} ^{2}\\[1.5ex]\mathrm {B} \left(1-\rho \mathrm {V} ^{2}-a\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}\right)&=-bi\alpha \rho _{1}\mathrm {AV} ^{2}.\\\end{aligned}}$

En les divisant membre à membre, on obtient

${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}=-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }},$

d’où

$\mathrm {A} ^{2}=-\mathrm {B} ^{2}.$

Nous aurons donc deux systèmes de valeurs de $\xi$ et $\eta ,$ satisfaisant aux équations du mouvement. Ces deux systèmes correspondent à $\mathrm {A} =+\mathrm {B} i$ et à $\mathrm {A} =-\mathrm {B} i.$ Nous pourrons donc montrer, comme nous l’avons fait au § 125, que l’onde plane