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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

où $\mathrm {H}$ a pour valeur l’expression précédente. En portant cette valeur de $\Pi$ dans les équations (5) du n^o 145 déduites des équations du mouvement dans un milieu élastique non assujetti à des liaisons, nous obtiendrons

(8)

${\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&={a\mathrm {A} }-\alpha \mathrm {H} -{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {A} }}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma ),\\[1.5ex]\mathrm {BV} ^{2}&={b\mathrm {B} }-\beta \mathrm {H} -{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {B} }}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma ),\\[1.5ex]\mathrm {CV} ^{2}&={c\mathrm {C} }-\gamma \mathrm {H} -{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {C} }}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )\,;\\\end{aligned}}$

nous déduirons de ces équations en les multipliant respectivement par $a,\beta ,\gamma$ et additionnant les produits

${\begin{aligned}\mathrm {V} ^{2}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )&=\mathrm {A} a\alpha +\mathrm {B} b\beta +\mathrm {C} c\gamma -(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})\mathrm {H} \\&\;\;-(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )\left(\alpha \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {A} }}+\beta \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {B} }}+\gamma \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {C} }}\right),\end{aligned}}$

ou, en remplaçant $\mathrm {H}$ par sa valeur,

$\mathrm {V} ^{2}(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )=-(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma )\left(\alpha \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {A} }}+\beta \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {B} }}+\gamma \,{\frac {d\mathrm {H} }{d\mathrm {C} }}\right)\cdot$

Une solution de cette équation est

(9)

$\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma =0,$

équation qui est celle que nous avons déduite de la condition $\Theta =0$ exprimant l’incompressibilité. Quand cette équation est satisfaite, les équations (8) se réduisent aux équations (5). Nous retrouvons donc ainsi les équations (4) et (5) obtenues en supposant l’éther incompressible.

Une autre conséquence de l’équation (9) est que la normale