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DOUBLE RÉFRACTION

166. Équations de Lamé. — Les équations du mouvement d’une molécule d’une onde plane dans un milieu élastique satisfaisant aux hypothèses de Neumann peuvent être mises sous une forme intéressante en introduisant les quantités $u,\,v,\,w$ définies par les relations

${\begin{aligned}u&={\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}},\\[1.25ex]v&={\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}},\\[1.25ex]w&={\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}}\cdot \end{aligned}}$

Ces quantités, quand on y remplace $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par les valeurs

$\xi =\mathrm {A} 'e^{\mathrm {P} },\qquad \eta =\mathrm {B} 'e^{\mathrm {P} },\qquad \zeta =\mathrm {C} 'e^{\mathrm {P} },\qquad$

deviennent

(5)

${\begin{aligned}u&={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }(\mathrm {C} '\beta -\mathrm {B} '\gamma )={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]v&={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }(\mathrm {A} '\gamma -\mathrm {C} '\alpha )={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]w&={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }(\mathrm {B} '\alpha -\mathrm {A} '\beta )={\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {C} e^{\mathrm {P} }.\end{aligned}}$

D’autre part, on a

(6)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\left(\mathrm {\frac {2i\pi }{\lambda }} \right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {A'V} ^{2},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\left(\mathrm {\frac {2i\pi }{\lambda }} \right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {B'V} ^{2},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\left(\mathrm {\frac {2i\pi }{\lambda }} \right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {C'V} ^{2}.\end{aligned}}$