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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

propriétés des minimums à la relation

(4)

${\big [}\rho \left(\mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} +\mathrm {M} \,\delta \mathrm {M} +\mathrm {N} \,\delta \mathrm {N} \right){\big ]}_{0}=0.$

Or, la valeur de $\psi$

$\psi =\mathrm {L} _{0}x+\mathrm {M} _{0}y+\mathrm {N} _{0}z+\chi ,$

donne :

$\delta \psi =\delta \chi .$

Par conséquent on aura

${\begin{aligned}\delta \mathrm {L} &={\frac {d}{dx}}\,\delta \chi ,&\delta \mathrm {M} &={\frac {d}{dy}}\,\delta \chi ,&\delta \mathrm {N} &={\frac {d}{dz}}\,\delta \chi ,\end{aligned}}$

et par suite.

${\begin{aligned}{\Big [}\rho \mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} {\Big ]}_{0}&=\left[\rho \mathrm {L} \,{\frac {d}{dx}}\delta \chi \right]_{0},\\[1.5ex]{\Big [}\rho \mathrm {M} \,\delta \mathrm {M} {\Big ]}_{0}&=\left[\rho \mathrm {M} \,{\frac {d}{dy}}\delta \chi \right]_{0},\\[1.5ex]{\Big [}\rho \mathrm {N} \,\delta \mathrm {N} {\Big ]}_{0}&=\left[\rho \mathrm {N} \,{\frac {d}{dz}}\delta \chi \right]_{0}\cdot \end{aligned}}$

En additionnant ces relations membre à membre on obtient une égalité dont le premier membre est nul d’après la relation(4) ; on a donc

$\left[\rho \mathrm {L} {\frac {d}{dx}}\delta \chi \right]_{0}+\left[\rho \mathrm {M} {\frac {d}{dy}}\delta \chi \right]_{0}+\left[\rho \mathrm {N} {\frac {d}{dz}}\delta \chi \right]_{0}=0.$

Si nous transformons chacun des termes de cette égalité en nous appuyant sur la propriété des fonctions périodiques dé-