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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

En y remplaçant $d\mathrm {V}$ par le premier membre de l’égalité (2) cette équation devient :

(4)

$\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}\!+\!x{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\right)d\alpha +\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\beta }}\!+\!y{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\right)d\beta +\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\gamma }}\!+\!z{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}\right)d\gamma =0.$

D’ailleurs $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont liés par la relation

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,$

qui donne par différentiation

(5)

$\alpha \,d\alpha +\beta \,d\beta +\gamma \,d\gamma =0.$

Les deux relations (4) et (5), satisfaites à la fois pour toutes les valeurs que l’on peut donner à $d\alpha$ et $d\beta ,$ doivent être identiques ; nous aurons donc en introduisant une constante arbitraire $\mathrm {K}$

(6)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }}+x\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}&=\mathrm {K} \alpha ,\\[1.5ex]{\frac {d\mathrm {F} }{d\beta }}+y\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}&=\mathrm {K} \beta ,\\[1.5ex]{\frac {d\mathrm {F} }{d\gamma }}+z\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {V} }}&=\mathrm {K} \gamma .\\\end{aligned}}$

Cherchons les valeurs de $\mathrm {K}$ et des dérivées partielles qui entrent dans ces équations. Pour cela rappelons que la vitesse de propagation $\mathrm {V}$ satisfait aux équations

(I)

${\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&=a\mathrm {A} -\alpha \mathrm {H} ,\\[1.25ex]\mathrm {BV} ^{2}&=b\mathrm {B} -\beta \mathrm {H} ,\\[1.25ex]\mathrm {CV} ^{2}&=c\mathrm {C} -\gamma \mathrm {H} ,\\\end{aligned}}$