Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/370

356

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Les conditions (2) peuvent aussi s’écrire,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A} }{a}}&={\frac {\mathrm {C} }{-ih}},&{\frac {\mathrm {A'} }{a}}&={\frac {\mathrm {C'} }{+ih'}},&\mathrm {B} &=\mathrm {B} '=0.\end{aligned}}$

Donc $\eta _{2}=0$ et comme $\eta$ est continu, $\eta _{1}$ devra l’être aussi comme dans la théorie de Fresnel.

Il vient ensuite dans le premier milieu

$h^{2}{\frac {d\xi _{2}}{dx}}+a^{2}{\frac {d\zeta _{2}}{dz}}=0,$

et dans le second milieu

$h'^{2}{\frac {d\xi _{2}}{dx}}+a^{2}{\frac {d\zeta _{2}}{dz}}=0,$

ou, ce qui revient au même, dans le premier milieu

(3)

$b^{2}{\frac {d\xi _{2}}{dx}}+a^{2}\varepsilon ^{2}\left({\frac {d\xi _{2}}{dx}}+{\frac {d\zeta _{2}}{dz}}\right)=0,$

et dans le second

(4)

$b^{2}{\frac {d\xi _{2}}{dx}}+a^{2}\varepsilon '^{2}\left({\frac {d\xi _{2}}{dx}}+{\frac {d\zeta _{2}}{dz}}\right)=0.$

La vibration $(\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1})$ étant transversale on aura dans les deux milieux

${\frac {d\xi _{1}}{dx}}+{\frac {d\zeta _{1}}{dz}}=0.\qquad$($\eta _{1}$ est indépendant de $y$) ;

et comme ${\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\zeta }{dz}}$ est continu, cela signifie que ${\frac {d\xi _{2}}{dx}}+{\frac {d\zeta _{2}}{dz}}$ est également continu.