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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Le terme $2\xi '_{y}\eta '_{x}$ ne peut provenir que de la fonction $\mathrm {K}$ où il a le coefficient $-{\frac {1}{2}}\,;$ son coefficient, dans le second membre de (29), sera $-{\frac {\lambda }{2}}.$ Les deux termes considérés ayant le même coefficient dans le premier membre de la relation, il doit en être de même dans le second membre ; par suite, nous aurons :

(30)

$\mu -\mu _{1}=-{\frac {\lambda }{2}}\cdot$

26. Quand on suppose que la pression extérieure est nulle dans l’état d’équilibre, le terme $\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}$ du développement (20) disparaît (15) ; par conséquent $\mu _{1}$ est nul et la relation précédente devient :

(31)

$\mu =-{\frac {\lambda }{2}}\cdot$

Il ne reste alors que deux coefficients arbitraires dans la fonction $\mathrm {W} _{2}.$

Dans l’hypothèse des forces centrales le terme $\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho '_{1}$ est nul (17), et le premier membre de la relation (29) se réduit à ${\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}.$ Or nous avons vu que, si on remplace $\rho _{1}^{2}$ par sa valeur tirée de la relation (22), on obtenait

${\text{coef. de }}\;\left({\frac {d\xi }{dy}}+{\frac {d\eta }{dx}}\right)^{2}={\text{coef. de }}\;2{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}\,;$

par suite, le coefficient de ${\xi '_{y}}^{2}$ doit être égal à celui de $2\,\xi '_{x}\eta '_{y}$ dans le premier membre de l’égalité (29), et il doit