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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

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$-\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\cdot$

31. La première de ces égalités donne la valeur de la composante de la pression suivant l’axe des $x\,;$ en posant

$-{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}=\mathrm {P} _{xx},\quad -{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{y}}}=\mathrm {P} _{xy},\quad -{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{z}}}=\mathrm {P} _{xz},$

l’expression de cette composante devient :

$\mathrm {P} _{x}=\alpha \mathrm {P} _{xx}+\beta \mathrm {P} _{xy}+\gamma \mathrm {P} _{xz}.$

Considérons l’une des quantités $\mathrm {P} _{xx},$ qui entrent dans cette expression, on a :

$\mathrm {P} _{xx}=-{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}=-{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '_{x}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot$

Or $\mathrm {W} _{1}$ est une fonction linéaire et homogène des dérivées partielles, $\mathrm {W} _{2}$ une fonction du second degré de ces mêmes quantités, donc le premier terme de $\mathrm {P} _{xx}$ est une constante et le second une fonction du premier degré des dérivées partielles. Lorsque le milieu est dans sa position d’équilibre, les quantités $\xi$ sont nulles et, comme zéro est un minimum pour ces quantités, leurs dérivées $\xi '_{x},$ $\xi '_{y},$ $\dots$ sont nulles aussi ; le second terme de $\mathrm {P} _{xx}$ disparaît et la valeur de $\mathrm {P} _{xx}$ dans la position d’équilibre est :

$\mathrm {P} _{xx}=-{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '_{x}}}\cdot$

Si l’on se reporte à la valeur de $\mathrm {W} _{1}$ que nous avons trouvée