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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

sont nulles pour $t=0.$ Par conséquent les fonctions $u,$ $v,$ $w,$ sont identiquement nulles. Les mouvements pour lesquels il en est ainsi sont appelés mouvements longitudinaux.

36. Remarquons que les trois relations identiques

${\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}}=0,$

${\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}}=0,\qquad \quad {\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}}=0,$

sont les trois conditions nécessaires et suffisantes pour que la quantité

$\xi \,dx+\eta \,dy+\zeta \,dz$

soit une différentielle exacte. Dans le cas des mouvements longitudinaux, nous pouvons donc poser

$\xi \,dx+\eta \,dy+\zeta \,dz=d\varphi ,$

et alors on a :

$\xi ={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad \quad \eta ={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \quad \zeta ={\frac {d\varphi }{dz}}\cdot$

37. Ces préliminaires établis, considérons un déplacement $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta .$ Pour démontrer que le mouvement peut être considéré comme résultant de la superposition d’un mouvement longitudinal et d’un mouvement transversal, il faut montrer que l’on peut avoir

$\xi =\xi _{1}+\xi _{2},\qquad \quad \eta =\eta _{1}+\eta _{2},\qquad \quad \zeta =\zeta _{1}+\zeta _{2},$

$\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},$ se rapportant à un mouvement transversal, et $\xi _{2},$ $\eta _{2},$ $\zeta _{2},$