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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Pour appliquer ce théorème au cas qui nous occupe, supposons que $\xi$ vérifie l’équation :

(1)

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0$

et que :

$\varphi ={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,;$

$r$ étant la distance des deux points $(x',\,y',\,z')$ et $(x,\,y,\,z),$ on aura bien :

$\lim \varphi r=1\;\;$ pour $\;\;r=0.$

Nous aurons encore :

(2)

$\Delta \varphi +\alpha ^{2}\varphi =0.$

Multiplions (1) par $\varphi ,$ la seconde par $-\xi$ et ajoutons :

$\varphi \,\Delta \xi -\xi \,\Delta \varphi =0.$

Dans la formule de Green, l’intégrale du second membre disparaîtra donc, et il restera :

$\int \left(\xi \,{\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi \,{\frac {d\xi }{dn}}\right)d\omega ={\bigg |}_{\displaystyle -4\pi \xi '}^{\displaystyle \;0,}$

$0,$ si le point $(x',\,y',\,z')$ est extérieur ; $-4\pi \xi ',$ si le point est intérieur au volume $\mathrm {T} .$

Nous pouvons d’ailleurs écrire, en permutant les accents :

$\int \left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '={\bigg |}_{\displaystyle -4\pi \xi }^{\displaystyle \;0}$