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PRINCIPE DE HUYGHENS

Supposons que nous ayons calculé $\sigma$ : nous avons

$\xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int \sigma e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.$

Intégrons par parties en remarquant que

${\begin{array}{c}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=-\ d{\dfrac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\\[1ex]\xi =-{\dfrac {\sigma }{4\pi }}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}+\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.\\\end{array}}$

où

$\sigma '={\frac {d\sigma }{dr}}\cdot$

Pour calculer la valeur du terme intégré, il faut savoir quelle est la plus petite valeur que puisse prendre $r.$ Deux cas peuvent se présenter :

1^o Le point $\mathrm {Q}$ est sur la partie éclairée de la sphère : la limite inférieure de $r$ est alors $\mathrm {PQ} .$

D’autre part, dans l’expression

$\sigma ={\frac {\mathrm {R} }{a}}\int \mathrm {X} \,d\varphi ,$

on peut regarder $\mathrm {X}$ comme une constante sur le cercle $r,$ et il vient :

${\begin{aligned}\sigma &={\frac {\mathrm {R} }{a}}\mathrm {X} \int _{0}^{2\pi }\!\!d\varphi =2\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\mathrm {X} \\[1ex]&=2\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\xi '_{0}(1+\cos \psi ).\\\end{aligned}}$

Or au point $\mathrm {O} ,$ $\psi =0$ et $\cos \psi =1,$ ce qui donne en définitive

$\sigma =4\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\xi '_{0}.$