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PRINCIPE DE HUYGHENS

que pour $t=0$ elle se réduise à

${\frac {\mathrm {F} (r)}{r}},$

et par suite soit nulle pour toute valeur de $r$ non comprise entre $r_{0}$ et $r_{1}\,;$ que pour $t=0$ on ait

${\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {V} \,{\frac {\mathrm {F} '(r)}{r}}$

enfin que $\xi ,$ fini et continu dans tout l’espace ainsi que ses dérivées, s’annule à l’infini — cette fonction $\xi$ sera entièrement déterminée, ainsi que nous l’avons vu au n^o 95. Si cette fonction existe, il n’y en a qu’une seule. Or la fonction

(1)

$\xi ={\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t+r)-\mathrm {F} (\mathrm {V} t-r)}{r}}$

satisfait à l’équation fondamentale — elle reste finie et continue ainsi que ses dérivées dans tout l’espace ; il ne pourrait y avoir doute que pour l’origine, c’est-à-dire pour $r=0.$

Mais pour $r=0$ les deux termes du numérateur se détruisent ; donc le numérateur et le dénominateur s’annulent simultanément et par conséquent $\xi$ reste fini au voisinage de l’origine et peut même, si $r$ est assez petit, être développé suivant les puissances croissantes de $r$ et aussi de $(x,\,y,\,z).$ En effet le numérateur change de signe quand on change $r$ en $-r\,:$ donc son développement par la formule de Mac-Laurin ne contient que des puissances impaires de $r.$ Comme il faut diviser par $r,$ le quotient $\xi$ ne renfermera que des puissances paires — il sera donc développé suivant les puissances de $r^{2}$ et par conséquent suivant les puissances de $x^{2}+y^{2}+z^{2}.$