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ONDES CYLINDRIQUES

Prenons le foyer comme origine des coordonnées polaires définies par :

${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \omega \\y&=r\sin \theta \sin \omega \\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}$

Nous voulons trouver une fonction $\xi$ de $r,\,\theta ,\,\omega$ qui vérifie l’équation :

(1)

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0$

À cet effet il est nécessaire de donner la définition des fonctions sphériques et quelques-unes de leurs propriétés.

On appelle fonction sphérique d’ordre $n$ une fonction $\mathrm {X} _{n}$ de $\theta$ et de $\omega ,$ qui multipliée par $r^{n}$ donne un polynôme $\mathrm {P} _{n}$ homogène de degré $n$ en $x,\,y,\,z$ et satisfaisant à l’équation

$\Delta \mathrm {P} _{n}=0$

Une fonction quelconque $\xi$ de $(r,\,\theta ,\,\omega )$ peut se mettre sous la forme :

$\xi =\sum \mathrm {F} _{n}\mathrm {X} _{n}$

$\mathrm {F} _{n}$ dépendant seulement de $r.$

Écrivons que $\xi$ vérifie l’équation (1) :

${\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}=\sum {\frac {d^{2}(\mathrm {F_{n}X_{n}} )}{dx^{2}}}=\sum \mathrm {X} _{n}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{n}}{dx^{2}}}+2\sum {\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}{\frac {\mathrm {F} _{n}}{dx}}+\sum \mathrm {F} _{n}{\frac {d^{2}\mathrm {X} _{n}}{dx^{2}}}$

$\Delta \xi =\sum \mathrm {X} _{n}\Delta \mathrm {F} _{n}+2\sum \left({\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dy}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dz}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dz}}\right)+\sum \mathrm {F} _{n}\Delta \mathrm {X} _{n}.$

Le second terme est nul, en effet :

${\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dx}}={\frac {x}{r}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}},\;\mathrm {etc.}$

${\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dy}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dz}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dz}}={\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}}\left[x{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}+y{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dy}}+z{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dz}}\right]$