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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES

Pour déterminer $\mathrm {A} _{n}$ on pourrait procéder comme dans le cas précédent.

Lorsque $r$ est très grand, le premier terme de $\mathrm {R} _{n}$ contenant ${\frac {1}{r}},$ est seul sensible et la valeur asymptotique de $\mathrm {R} _{n}$ s’exprime par :

${\begin{array}{ll}\mathrm {R} _{n}=\pm {\dfrac {\sin \alpha r}{r}}&\mathrm {pour} \;n\;\mathrm {pair} \,;\\[1ex]\mathrm {R} _{n}=\pm {\dfrac {\cos \alpha r}{r}}&\mathrm {pour} \;n\;\mathrm {impair} .\\\end{array}}$

Pour $r$ très grand nous aurons donc :

$r\xi =\sum \mathrm {A} _{2n}(-1)^{n}\sin \alpha r\;\mathrm {X} _{2n}+\sum \mathrm {A} _{2n+1}(-1)^{n}\cos \alpha r\;\mathrm {X} _{2n+1},$

ce que je puis écrire :

$r\xi =\mathrm {B} \sin \alpha r+\mathrm {C} \cos \alpha r$

avec

$\mathrm {B} =\sum \mathrm {A} _{2n}(-1)^{n}\mathrm {X} _{2n};\qquad \mathrm {C} =\sum \mathrm {A} _{2n+1}(-1)^{n}\mathrm {X} _{2n+1}.$

Mais en un point très éloigné du foyer nous pouvons regarder la lumière observée comme constituée par la superposition d’un faisceau convergent et d’un faisceau divergent.

Soit alors :

$r\xi =f_{1}(\omega ,\theta )\cos(\alpha r+pt)$

l’équation du faisceau convergent. La fonction $f_{1}(\omega ,\theta )$ peut être regardée comme une des données de la question. Soit :

$r\xi =f_{2}(\omega ,\theta )\cos(\alpha r-pt),$