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HYPOTHÈSES DE HELMHOLTZ

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$-\mathrm {R} _{1}{\frac {d\xi _{1}}{dt}},$ etc. Donc

$\mathrm {X} _{2}=-\mathrm {H} _{1}\xi _{1}-\mathrm {R} _{1}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}\cdot$

Les équations deviennent

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}&=\mathrm {P} _{1}(\xi -\xi _{1})-\mathrm {H} _{1}\xi _{1}-\mathrm {R} _{1}\,{\frac {d\xi _{1}}{dt}}\\[1ex]\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\eta _{1}}{dt^{2}}}&=\mathrm {P} _{1}(\eta -\eta _{1})-\mathrm {H} _{1}\eta _{1}-\mathrm {R} _{1}\,{\frac {d\eta _{1}}{dt}}\\[1ex]\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\zeta _{1}}{dt^{2}}}&=\mathrm {P} _{1}(\zeta -\zeta _{1})-\mathrm {H} _{1}\zeta _{1}-\mathrm {R} _{1}\,{\frac {d\zeta _{1}}{dt}}.\\\end{aligned}}\right.$

Les systèmes (3) et (4) forment ainsi six équations qui définissent $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1}.$ Ce que nous désignons par $\rho _{1},$ c’est donc non pas la densité de la matière totale, mais celle de la matière mobile seulement.

Le mouvement sera-t-il encore transversal ? Pour qu’il en soit ainsi, nous savons qu’il faut que

${\begin{alignedat}{6}0&=\theta &&={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}\\[1ex]0&=\theta _{1}&&={\frac {d\xi _{1}}{dx}}+{\frac {d\eta _{1}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{1}}{dz}}\cdot \\\end{alignedat}}$

Différencions la première des équations (3) par rapport à $x,$ la deuxième par rapport à $y,$ la troisième par rapport à $z,$ ajoutons et opérons de même sur le système (4) nous trouverons :

(5)

$\left\{{\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=\mu (\Delta \theta -\Delta \theta )+\mathrm {P} _{1}(\theta _{1}-\theta )=\mathrm {P} _{1}(\theta _{1}-\theta )\\[1ex]\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\theta _{1}}{dt^{2}}}&=\mathrm {P} _{1}(\theta -\theta _{1})-\mathrm {H} _{1}\theta _{1}-\mathrm {H} _{1}\,{\frac {d\theta _{1}}{dt}}\cdot \\\end{aligned}}\right.$