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POLARISATION ROTATOIRE

$\varphi =\mathrm {C_{2}OC_{1}}$ est égal à l’excès de quatre droits sur la somme des faces de l’angle polyèdre. Considérons l’intersection de cet angle polyèdre avec la sphère ; c’est un quadrilatère sphérique $\mathrm {C_{1}B_{1}B_{2}B_{3}} .$ Les côtés de ce quadrilatère sont respectivement $\mathrm {B_{1}B_{2}} ={\widehat {\mathrm {A_{1}OA_{2}} }},$ $\mathrm {B_{2}B_{3}} ={\widehat {\mathrm {A_{2}OA_{3}} }}\,\dots$ c’est-à-dire égaux
Fig. 50. aux doubles des angles que font entre elles les sections principales de deux lames consécutives. Ses angles sont $\pi -\omega _{1},$ $\pi -\omega _{2}\,\dots$ etc., et ses angles extérieurs $\omega _{1},$ $\omega _{2}\,\dots$ etc. La somme de ses côtés est $2\pi -\varphi .$

Considérons le quadrilatère polaire de celui-là (fig. 50). Soit :

$a\;$	le pôle de	$\;\mathrm {CB} _{1}$		$\mathrm {B} _{1}\;$	le pôle	$\;ab$
$b\;$	—	$\;\mathrm {B_{1}B_{2}}$		$\mathrm {B} _{2}\;$	—	$\;bc$
$c\;$	—	$\;\mathrm {B_{2}B_{3}}$			etc.
$d\;$	—	$\;\mathrm {B_{3}C}$

D’après un théorème bien connu :

${\begin{aligned}ab&=\omega _{1},\qquad bc=\omega _{2},\qquad cd=\omega _{3},\qquad da=\omega '\\b&=\pi -\mathrm {B_{1}OB_{2}} ,\;\;\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

La construction du polygone polaire nous fait donc connaître $\omega '$ ou la première résultante.

D’autre part, la somme des angles extérieurs du polygone polaire est :

$\mathrm {B_{1}OB_{2}} +\mathrm {B_{2}OB_{3}} +\cdots =2\pi -\varphi ,$

$\varphi$ est donc l’excès sphérique de ce polygone, et par conséquent est proportionnel à sa surface.