on peut employer une représentation de l'énergie libre ou du potentiel thermodynamique par une courbe ou une surface; la solution d'un problème est alors souvent ramenée à une construction géométrique. D'une manière analogue, on peut, dans l'étude des systèmes à un plus grand nombre de composantes, introduire une représentation graphique dans un espace à plus de trois dimensions. Bien entendu, on ne voit pas cette représentation, et en réalité l'avantage qu'on y trouve consiste dans l'emploi du langage de la géométrie polydimensionnelle, qui fait ressortir mieux que toute autre chose l'analogie des équilibres avec ceux qui se présentent dans des systèmes moins compliqués.
Signalons aussi, à ce propos, l'exemple donné par HERTZ dans son admirable traité sur les principes de la mécanique. Grâce à un mode d'expression qui a été modelé d'après celui de la géométrie à n dimensions, il a pu réduire tous les phénomènes du mouvement à cette loi fondamentale, que tout système matériel se meut avec vitesse constante suivant une ligne dont la courbure est la plus petite qui soit compatible avec les liaisons du système. Dans cette théorie, certains principes généraux, tels que celui de la moindre action, prennent une forme très claire, que, du reste, on peut leur conserver si l'on préfère les idées fondamentales de la mécanique ordinaire aux nouvelles hypothèses par lesquelles HERTZ a voulu les remplacer. Dans les questions de statistique, les méthodes de la géométrie polydimensionnelle se présentent immédiatement à l'esprit dès que le nombre des variables qu'on prend pour base du groupement est supérieur à trois. Si les divers cas qui font l'objet de la statistique ne se distinguent que par la valeur d'une variable unique, on peut, en prenant cette dernière pour coordonnée, représenter chaque cas par un point sur une ligne droite. Les cas dans lesquels la variable en question est comprise entre des limites données correspondront à des points situés sur une certaine partie de la ligne, et on connaît la loi de la distribution des différentes valeurs de la variable, quand on a exprimé en fonction de la coordonnée la densité de la distribution des points représentatifs.
