Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/241

Soient $p,q,r$ de semblables fonctions de $t$ que $\mathrm {P,Q,R}$ sont de $x,$ et posons

$\mathrm {Q} =q+\mathrm {A+B+C+D} +\ldots ,$

où $\mathrm {A,B,C,D}$ sont des fonctions déterminées de $t.$ Il sera donc

$\mathrm {Q} '=q'+{\frac {d\mathrm {A} }{dq}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dq}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dq}}+\ldots ,$

car, en supposant

$\mathrm {Q} '=q'+\mathrm {A'+B'+C'+D'} +\ldots ,$

on a

${\frac {d\mathrm {A} }{dq}}=\mathrm {A} ',\qquad {\frac {d\mathrm {B} }{dq}}=\mathrm {B} ',\qquad \ldots \,;$

mais, en prenant le différentiel complet de $\mathrm {Q} ,$ il résulte

${\frac {dx}{dt}}\mathrm {Q} '=q'+{\frac {d\mathrm {A} }{dq}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dq}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dq}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}+\ldots \,;$

d’où l’on tire

${\frac {dx}{dt}}\mathrm {Q'-Q'} ={\frac {dx}{dt}}\mathrm {R} '={\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}+\ldots .$

Posons maintenant

$\mathrm {R} =r+{\mathfrak {A+B+C+D}}+\ldots \,;$

il s’ensuivra

${\frac {dx}{dt}}\mathrm {R} '=r'+{\frac {d{\mathfrak {A}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {B}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {C}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {D}}}{dt}}+\ldots ,$

par conséquent,

$r'+{\frac {d{\mathfrak {A}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {B}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {C}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {D}}}{dt}}+\ldots ={\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}+\ldots .$

En comparant les membres :

1o

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=r'=p'q',$

donc

$\mathrm {A} =pq'\qquad {\text{et}}\qquad {\mathfrak {A}}=pr'=pp'q'\,;$