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laquelle, étant réduite à cette forme

$y_{3}^{2}-13y_{2}^{2}=-1,$

sera susceptible de la méthode du n^o 71, 2^o ; et, comme $\mathrm {A} =13$ est $<120,$ on pourra faire usage de la Table du n^o 41.

Ainsi il n’y aura qu’à voir si, dans la série supérieure des nombres qui répondent à ${\sqrt {13}},$ il se trouve le nombre $1$ dans une place paire ; car il faut, pour que l’équation précédente soit résoluble, que dans la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots$ il se trouve un terme $=-1\,;$ mais on a $\mathrm {P_{0}=1,\ -P_{1}} =4,$ $\mathrm {P} _{2}=3,\ldots \,;$ donc, etc. Or, dans la série $1,4,3,3,4,1,\ldots ,$ on trouve justement $1$ à la sixième place, en sorte que $\mathrm {P} _{5}=-1\,;$ donc on aura une solution de l’équation proposée, en prenant $y_{3}=p_{5},$ et $y_{2}=q_{5},$ les nombres $p_{5},q_{5}$ étant calculés d’après les formules du n^o 25, en donnant à $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ les valeurs $3,1,1,1,1,6,\ldots$ qui forment la série inférieure des nombres répondant à ${\sqrt {13}}$ dans la même Table.

On aura donc

${\begin{alignedat}{2}p_{0}=&1,&q_{0}=&0,\\p_{1}=&3,&q_{1}=&1,\\p_{2}=&p_{1}+p_{0}=4,&q_{2}=&1,\\p_{3}=&p_{2}+p_{1}=7,&q_{3}=&q_{2}+q_{1}=2,\\p_{4}=&p_{3}+p_{2}=11,\qquad &q_{4}=&q_{3}+q_{2}=3,\\p_{5}=&p_{4}+p_{3}=18,&q_{5}=&q_{4}+q_{3}=5.\end{alignedat}}$

Donc $y_{3}=18$ et $y_{2}=5\,;$ donc

$y_{1}=y_{2}+y_{3}=23,\quad {\text{et}}\quad y=3y_{1}+y_{2}=74.$

Nous avons supposé ci-dessus $n=35,$ mais on peut aussi prendre $n=-35.$

Soit donc : 2^o $n=-35\,;$ on fera

${\begin{alignedat}{4}m\ \,=&{\frac {-35}{12}}=-3,\quad &n_{1}=&-35+3.12=1,\quad &\mathrm {D} _{2}=&{\frac {1-13}{12}}=-1,\quad &y\ \,=&-3y_{1}+y_{2},\\m_{1}=&{\frac {1}{-1}}=-1,&n_{2}=&1-1=0,&\mathrm {D} _{3}=&{\frac {-13}{-1}}=13,&y_{1}=&-y_{2}+y_{3}\,;\end{alignedat}}$