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nulle, il faut que le terme multiplié par $r^{2}-a^{2}$ ne disparaisse pas toujours en faisant $r=a.$

7. Pour aller du plus simple au plus composé, nous commencerons par examiner le cas où $y'$ est une quantité constante. Dans ce cas, on n’a qu’à chercher l’intégrale de $\rho ^{3}d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et, pour cela, nous pouvons supposer, comme dans le n^o 3, l’angle nul, ce qui donne $\mu =\cos \theta '$ et $d\mu =-\sin \theta 'd\theta '\,;$ de sorte que la différentielle dont il s’agit deviendra

$-{\frac {d\varpi 'd\mu }{\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Intégrant d’abord par rapport à $\varpi ',$ on a

$-{\frac {2\pi d\mu }{\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

intégrant ensuite par rapport à $\mu ,$ on a

${\frac {-2\pi }{ar{\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}}}\,;$

et, complétant depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ on aura l’intégrale complète

${\frac {-2\pi }{ar(r+a)}}+{\frac {2\pi }{ar(r-a)}}={\frac {4\pi }{r\left(r^{2}-a^{2}\right)}}.$

Ainsi la valeur complète de $\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ lorsque $y'$ est constant, est ${\frac {4\pi y'}{r\left(r^{2}-a^{2}\right)}},$ quelle que soit la valeur de $r.$ Substituant cette valeur dans l’équation du numéro précédent, on aura

${\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {2\pi a^{3}y'}{r}}.$

Si maintenant on fait $r=a,$ elle devient

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y',$