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on aura, comme il est facile de le voir,

$b={\frac {1}{a-\mu }},\quad c={\frac {1}{b-\mu _{1}}},\quad d={\frac {1}{c-\mu _{2}}},\quad \ldots ,$

et $\mu <a,\ \mu _{1}<b,\ \mu _{2}<c,\ \mu _{3}<d,$ etc. ; donc les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ ne seront autre chose que ceux que nous avons désignés par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ dans le n^o 3, c’est-à-dire que ces nombres seront les termes de la fraction continue qui représente la valeur de $a,$ en sorte que l’on aura ici

$a=\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+\ddots }}}}.$

Par conséquent les nombres $p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ seront les numérateurs, et $q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ les dénominateurs des fractions convergentes vers $a,$ fractions que nous avons désignées ci-devant par $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,\ldots$ (n^o 10).

Ainsi tout se réduit à convertir la valeur de $a$ en une fraction continue, dont tous les termes soient positifs, ce qu’on peut exécuter par les méthodes exposées plus haut, pourvu qu’on ait soin de prendre toujours les valeurs approchées en défaut ; ensuite il n’y aura plus qu’à former la suite des fractions principales convergentes vers $a,$ et les termes de chacune de ces fractions donneront des valeurs de $p$ et $q,$ qui résoudront le Problème proposé ; de sorte que ${\frac {p}{q}}$ ne pourra être qu’une de ces mêmes fractions.

Corollaire II.

27. Il résulte de là une nouvelle propriété des fractions dont nous parlons ; c’est que, nommant ${\frac {p}{q}}$ une des fractions principales convergentes vers $a$ (pourvu qu’elles soient déduites d’une fraction continue dont tous les termes soient positifs), la quantité $p-aq$ aura toujours une valeur plus petite, abstraction faite du signe, qu’elle n’aurait, si