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lant à $\mathrm {C}$ le terme sans $x$ et les autres à zéro, on aura

$m\mathrm {A} +2p\mathrm {B} =\mathrm {C} ,\quad (1+n)\mathrm {A} +6m\mathrm {B} +6p=0,$

$(1+4n)B+15m=0,\quad 1+9n=0,$

d’où l’on tire

$n=-{\frac {1}{9}},\quad m=-{\frac {\mathrm {B} }{27}},\quad p=\mathrm {{\frac {B^{2}-4A}{27}}\quad {\text{et}}\quad C={\frac {3B^{3}-9AB}{27}}} .$

Retenons, pour plus de simplicité, les quantités $p$ et $\mathrm {C} ,$ et substituons celles de $m$ et $n$ dans l’équation ci-dessus ; elle deviendra, en tirant la valeur de $y',$

$y'={\frac {3{\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}}{\sqrt {9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}}}}.$

Il faut maintenant en déduire l’équation primitive en $x$ et $y\,;$ mais, pour éviter les imaginaires, on doit distinguer deux cas, l’un où les radicaux sont réels, l’autre où ils sont imaginaires ; car, puisque toute valeur réelle de $x$ donne pour $y$ et $y'$ des valeurs réelles, il est visible que les deux radicaux de l’équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.

Supposons donc, en premier lieu, que ${\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}$ soit une quantité réelle ; il faudra donc que $p\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}>(y-\mathrm {C} )^{2}\,;$ par conséquent, on pourra supposer

$y-\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin z,$

ce qui donnera

${\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C} y-y^{2}}}={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\cos z,$

et, prenant les fonctions primes,

$y'={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}z'\cos z\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra, en divisant par $3,$

$\left(9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {z'}{3}},$