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connue pour les triangles rectangles, ces équations

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {u+y}{2}}=&\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} z,\\\operatorname {tang} {\frac {x+z}{2}}=&\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} y,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et, si l’on fait $u=m,$ en sorte que le premier triangle soit isoscèle, ayant $z$ pour base, on aura de plus l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}=\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} m,$

et l’on aura alors

$f(z)=2f(m),\quad f(y)=3f(m),\quad f(x)=4f(m),\quad \ldots .$

Nous remarquerons ici que cette construction est pour les triangles sphériques ce que la construction du problème 29 des questions géométriques de l’Arithmétique de Newton est pour les triangles rectilignes.

En effet, si l’on rend rectilignes les triangles sphériques dont les côtés sont $u,z,y,\ldots$ et les bases $m,$ les équations ci-dessus deviennent

$z=2m\cos \mathrm {M} ,\quad u+y=2z\cos \mathrm {M} ,\quad x+z=2y\cos \mathrm {M} ,\quad \ldots ,$

et il est facile de prouver qu’alors la fonction $f(u)$ devient proportionnelle à l’angle dont le sinus est ${\frac {u\sin \mathrm {M} }{m}},$ parce que $\sin u$ et $\sin m$ se changent en $u$ et $m,$ de sorte que, en prenant la base $m$ pour le sinus de l’angle opposé $\mathrm {M} ,$ on aura, à cause de $u=m,$

$z=\sin 2\mathrm {M} ,\quad y=\sin 3\mathrm {M} ,\quad \ldots .$

71. Nous nous sommes un peu étendu sur les propriétés des fonctions de la forme $f(u),$ parce que les géomètres s’en sont beaucoup